Vienkārši grafu algoritmi

Šis darbs dot pārskatu par dažām grafu aprakstīšanas, parmeklēšanas un kārtošanas metodēm. Pārmeklēt grafu nozīmē sistemātiski izsekot grafa lokus, tātad iziet grafa virsotnes. Ir vairāki grafu pārmeklēšanas algoritmi. Daudzi no tiem balstās uz to, ka no sākuma tiek iegūta informāciju par grafa struktūru, un tikai tad notiek grafa pārmeklēšana. Citi algoritmi strādā vienkārši izvēršot virsotni pēc virsotnes. Paši pa sevīm grafu parmeklēšanas algoritmi dot iespeju arī atklāt grafa struktūru un tie aizņem svarīgu daļu grafu algoritmos.
Darba pirmā nodaļā būs apskatīti divi vissizplatītākie grafa aprakstīšanas veidi: blakus virsotņu saraksts un blakus virsotņu matrica. Otrā nodaļā aprakstīts vienkārš grafa pārmeklēšanas algoritms - pārmeklēšana plašumā, un arī tiek parādīts kā tiek konstruēts pārmeklēšanas plašumā koks. Trešā nodaļā apskatīsim dziļumā pārmeklēšanas algoritmu, un piemēru kurā var redzēt kādā kartībā dziļumā pārmeklēšanas algoritms apskata virsotnes. Ceturtā nodaļa būs veltīta topoloģiskai grafa kārtošanai. Un beidzot piektajā nodaļā ir aprakstīts tāds jēdziens kā stingri savienotās komponentes un arī tiek apskatīta procedūra kura sameklē tās virzītā grafā.
Ir divi standarta veidi kā aprakstīt grafu G = (V, E) (V – virsotņu kopa, E – loku kopa): proti ar blakus virsotņu saraksta vai ar blakus virsotņu matricas palīdzību. Blakus virsotņu sarakstu lieto parasti biežāk, tapēc, ka tas nodrošina iespeju kompakti aprakstīt izretinātu grafu – tas ir tāds grafs kur |E| ir daudz mazāks par |V²|. Blakus virsotņu matricas izmantošana grafa aprakstīšanai var būt piemērota tad, kad grafs ir blīvs, proti |E| skaits ir tuvs |V²| skaitam, vai arī tad, kad ir vajadzība ātri noskaidrot vai divas virsotnes ir savā strarpā savienotas ar loku.
2. att. Divi veidi kā aprakstīt virzītu grafu. (a) Grafs G sastāv no sešām virsotnēm un astoņiem lokiem. (b) Grafs G aprakstīts ar blakus virsotņu saraksta palīdzību. (c) Grafs G ir aprakstīts ar blakus virsotņu matricu.

Saistīto virsotņu saraksts kas apraksta kādu grafu G = (V,E) sastāv no kopas Adj, kas satur |V| virsotņu sarakstu. Sarakstā ir tik rindas cik ir virsotņu grafā. Priekš katras virsotnes u ∈ V saistīto virsotņu saraksts Adj[u] satur visas virsotnes ar kurām virsotne ir saistīta ar lokiem. Virsotnes blakus virsotņu sarakstā parasti izvieto patvaļīgā kartībā. Attēlā 1(b) ir redzams blakus virsotņu saraksts nevirzītam grafam no attēla 1(a). Respektīvi attēlā 2(b) arī redzams blakus virsotņu saraksts virzītam grafam no attēla 2(a).
Ja grafs G ir virzīts grafs, tad loku garumu summa blakus virsotņu sarakstā ir vienāda ar |E|, bet ja G ir nevirzīts grafs tad loku garumu summa blakus virsotņu sarakstā ir vienāda ar 2|E|, tas ir tapēc kā aprakstot nevirzītu grafu viens un tas pats loks sarakstā parādās divas reizes.
Neatkarīgi no tā vai grafs ir virzīts vai nav, blakus virsotņu sarakstam piemīt tāda īpašība: nepieciešamā atmiņa lai aprakstīt grafu ir O(max(V,E)) = O(V+E)…