Mezglu metode 2D Šredingera tipa vienādojuma skaitliskajiem aprēķiniem

Darbs ir veltīts 2D Šrēdingera tipa vienādojuma skaitliskai atrisināšanai. Šajā darbā galvenā uzmanība būs veltīta jaunas diferenču shēmas izstrādei Šrēdingera vienādojumam ar pietiekoši gludu un nepārtrauktu potenciālu, tāpēc Šrēdingera vienādojumu ar šāda veida mainīgu potenciālu sauksim par Šrēdingera tipa vienādojumu.
Šrēdingera vienādojums ir pamat vienādojums kvantu fizikā. To sauc arī par viļņu vienādojumu. Šrēdingera vienādojuma atrisinājums ir viļņu funkcija. Viļņu funkcijas fizikāla jēga nav skaidri izsakāma, jo tā pieņem kompleksās vērtības. Sākumā Šrēdingers aprakstīja viļņu funkciju kā elektrona negatīvā lādiņa izplatīšanas. Lai izvairītos no kompleksiem atrisinājumiem viņš ieveda funkcijas kvadrātu (funkcija, kura ir kompleksi pareizināta pati ar sevi). Vēlāk Borns identificēja funkcijas absolūta kvadrāta lielumu kā vērtību, kas ir proporcionāla varbūtībai atrast daļiņu šajā punktā ar eksperimentālo novērojumu.

Mūsdienās Šrēdingera vienādojumam ir arī liela praktiskā nozīme. Piemēram, to lieto zemu dimensiju elementu gāzes modelēšanā pie pusvadītāju heterostruktūru aprēķiniem. Tāpēc ir arī svarīgi apskatīt zemu dimensiju viļņa vienādojuma atrisināšanas iespējas, tai skaitā 2D gadījumā.
Šrēdingera vienādojums ir paraboliskā tipa diferenciālvienādojums. Paraboliska tipa diferenciālvienādojumu atrisināšanai ir izstrādātas daudzas skaitliskas risināšanas metodes. Kā vienu no pamatpieejām būtu jāmin diferenču metodes [1 – 4]. Parabolisko vienādojumu diferenču metodes ir labi izstrādātas un zināmas [1, 2]. Te jānorāda metodes saistītas ar atklātām un aizklātām shēmām. Atklāto shēmu gadījumā, ievērojot stabilitātes nosacījumus, pastāv stingri ierobežojumi uz atļauto laika soli [1]. Šīs shēmas praktiskiem aprēķiniem derīgas tikai pielietojot paralēlas risināšanas tehnoloģijas. …