Atrast visas reālas saknes vienādojumiem x4-5x3-12x2+76x-79=0 un x6=x4+ x3+1 ar precizitāti =0.00001, pie tam jāizmanto vismaz divas dažādas skaitļiskās risināšanas metodes.
Teorija.
Bija izmantoti sekojošas teorijas daļas: dažas polinomu īpašības, Šturma metode, dihotomijas metode, hordu metode, pieskaru metode.
Polinomu īpašības.
n
a) Ja ir dots polinoms f(x)= aixi , tad to reālo sakņu skaits nepārsniedz n.
i=1
b) Katrs polinoms ir nepārtrauktā funkcija intervālā (-; +).
Šturma metode.
Šī metode ļauj polinomam f(x) noteikt reālo sakņu skaitu dotajā intervālā [a; b].
Vispirms konstruē galīgu funkciju virkni
(x)={R-1(x), R0(x), R1(x), R2(x), … ,RN(x)},
kur Ri-2(x)=Ri-1(x)Q(x)+(-Ri(x)), jeb citiem vārdiem sakot, katrs virknes loceklis ir atlikums (kas ņemts ar pretējo zīmi), ko iegūst dalot divus iepriekšējus polinomus. Šeit Q(x) ir kautkāds polinoms un pie tam R-1(x)=f(x) – sākotnējais polinoms,
R0(x)=f (x) – tā atvasinājums un deg (RN(x))=0 (t.i. RN(x)=const).
Tālāk šinī virknē izrēķina katra polinoma vērtību punktā a (kreisā intervāla robeža) un noskaidro zimju maiņu skaitu rindā
{R-1(a), R0(a), R1(a), R2(a), … ,RN(a)} un apzīmē to ar N(a).
…
