Skaitļu kopas un kompleksie skaitļi

Izpildot dažādas darbības ar skaitļiem, jau aritmētikā bija jāsastopas ar gadījumiem, kad ne visas aplūkojamās darbības dotajā skaitļu kopā ir izpildāmas. Tā, piemēram, naturālo skaitļu kopā N var vienmēr izpildīt saskaitīšanu un reizināšana, bet ne vienmēr izpildīt atņemšanu un dalīšanu. Tādēļ tajos gadījumos, kad kāda no darbībām nav izpildāma, matemātikā parasti paplašina doto skaitļu kopu ar jauniem skaitļiem tā, lai šajā paplašinātajā skaitļu kopā vajadzīgās darbības būtu izpildāmas. Reālo skaitļu kopa R tika izveidota, pakāpeniski paplašinot naturālo skaitļu kopu N.
1. Lai būtu iespējams izpildīt atņemšanas darbību, paplašina naturālo skaitļu kopu N, definējot naturāliem skaitļiem 1,2,…,m,… pretējus skaitļus -1,-2,…,-m,… , kā arī skaitli 0. Paplašinot naturālo skaitļu kopu N ar šiem jaunajiem skaitļiem 0, -1,-2,…, iegūst veselo skaitļu kopu Z , kurā N ieiet kā īsta apakškopa un kurā var izpildīt jau 3 darbības: saskaitīšanu, reizināšanu un atņemšanu.
Izmantojot šīs īpašības, ir iespējama divu vai vairāku daļu saucēju vienādošana, kā arī daļu saīsināšana. Tālāk definē saskaitīšanas un reizināšanas darbības, bet atņemšanu un dalīšanu ¾ kā pretējās darbības attiecīgi saskaitīšanai un reizināšanai. Ar racionāliem skaitļiem var izpildīt jau četras darbības: saskaitīšanu, reizināšanu, atņemšanu un dalīšanu (izņemot dalīšanu ar 0).
Lai saknes vilkšanas darbība no jebkura pozitīva racionāla skaitļa būtu izpildāma, racionālo skaitļu kopa Q jāpapildina ar jauniem skaitļiem ¾ iracionāliem skaitļiem, kurus definē kā bezgalīgus neperiodiskus decimāldaļskaitļus. Paplašinātā skaitļu kopa, t.i., racionālo un iracionālo skaitļu kopu apvienojums, veido reālo skaitļu kopu R. Šajā kopā bez četrām algebriskajām darbībām ir iespējams vienmēr izvilkt kvadrātsakni no pozitīva racionāla skaitļa. Tālākie pētījumi pierāda, ka reālo skaitļu kopā R ir izpildāmas vēl daudz citas darbības: var izvilkt gan kvadrātsakni, gan arī jebkuras pakāpes sakni no katra pozitīva reāla skaitļa, kāpināt pozitīvu reālu skaitli jebkurā reālā pakāpē, atrast trigonometrisko funkciju vērtības dažādiem leņķiem, u.c. …