Rekursija un iterācija

Iteracio - no latīņu vārda - atkārtošanās.
Iterācija ir algoritms, kurš atkārtojoties aprēķina vajadzīgo uzdevumu.
Iterācijas, kā jau tiks pieminēts nākošajā nodaļā par rekursiju, ir praktiskākas par rekursiju un var tikt piemērota matemātisku uzdevumu izskaitļošanai. Vispār iesaka, uzdevumos, kuros var izmantot gan rekursijas algoritmu, gan iterācijas, izmantot tieši iteratīvas darbības, jo tas ir efektīvākas un aizņem mazāk tehniskos (datora) resursus.
Par iterāciju metodēm (arī pakāpenisko tuvinājumu metodēm) sauc tādas lineāro
vienādojumu sistēmu risināšanas metodes, kurās sistēmas Ax=f atrisinājums tiek iegūts kā virknes robeža , , kur n – iterācijas numurs, xn – n – tās iterācijas rezultāts, x –

sistēmas precīzais atrisinājumus. Šāda robeža eksistē tikai tad, ja
Tātad xn, ja n ir galīgs skaitlis, ir uzskatāms par sistēmas atrisinājuma aptuvenu vērtību. Tā kā precīzs atrisinājums tiek iegūts, kad n → ∞, bet bezgalīgu iterāciju skaitu realizēt nav iespējams, tad, pielietojot iterāciju metodes, ir iespējams iegūt tikai aptuvenu atrisinājumu, kurš apmierina kādu iepriekš formulētu noteikumu.
Pielietojot iterāiju metodes, galvenie jautājumi ir:
1)kā iegūt aptuveno atrisinājumu virkni;
2)vai šī virkne konverģē uz sistēmas precīzo atrisinājumu;
3)cik iterācijas izdarīt.
Tālāk būs redzams, ka iterāciju metožu konverģence ir atkarīga ne tikai no konkrētās metodes īpašībām, bet arī no risināmā uzdevuma īpasībām, tāpēc šajā nodaļā konverģences jautājumam ir veltīta īpaša vērība. Iterācijas metožu konverģence ir atkarīga no risināmās lineāro vienādojumu sistēmas matricas īpašvērtībām, tāpēc šajā nodaļā tiek apskatītas arī matricas īpašvērtības un īpašvektori.…